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Swiftで代数学入門 〜 1. 数とは何か？ - Qiita
代数学の基本｜群・環・体の定義と具体例をゼロから解説 – あーるえぬ
群とは何か
Swiftは柔軟性の高い言語。普通にルート2を二乗すると誤差で2にはならないが、二乗して2になる数を作ることは出来る。
個数を数えるのに使うのが自然数。
黒字や赤字を同列に扱える、マイナスやゼロを含めた数が整数。
整数は＋についてはどうしても整数になるので、＋演算について閉じているという。この閉じていることを＋について群を成すという。※ざっくりとした定義
二つの数から新たな数を作り出す操作を二項演算という。
＋、ー、×について閉じている場合、その数の集合は環を成すという。
×の1は＋の0、ただし0では割れない。なぜならが成立してしまうから。＋にはそういう要素はないので、×と÷は0以外の数で閉じている。つまり＋と×は別々の群構造。
整数に分数を追加したものを有理数という。
＋、－、×、÷について閉じている場合、その数の集合は体を成すという。
群、環、体は数そのものではなく、数の集まりとその演算に対して定まる性質。
セットにして整数環、有理数体と呼ぶ。
実数
有理数に無理数も含めた集合を実数と呼ぶ。これは有理数と同じく体。実数は離散ではなく連続。
無理数は代数方程式、xの多項式＝０を解くときにどうしても出てくる。
なので自然な拡張。
二次方程式では、解の公式より解は2~0。
これはグラフに書いて直感的にわかる。
三次方程式では、解の公式でルート内に負の数が出る。
これを認めないと必ず存在する実数解が出せない。実数解が存在するのはグラフより直感的に。
複素数
この負の数ルートを虚数とする。実数にはそんなの存在しないのに認められるのは、この数を含めてもその数の集合を体として扱える≒四則演算ができるから。
＋、－、×はもちろん、a+ibという数にはかけて1になる逆数を作ることが出来るので、すなわち÷もできる。（0除く）
このz=x+ibを複素数という。全体は複素数体。
これを導入すると、2次方程式は2つの解、3次方程式は3つの解を持つことになる。代数学の基本定理。初の完全証明者はガウス。
この後、ガウスが複素数平面を考案し、オイラーがを示して三角関数と指数関数が結びつく。さらに微積分学へも複素数は波及し、複素関数論という一大分野へ。かくして理論も応用もできる完成した数として複素数は認められた。
「代数学の基本定理」の不要論
がロア理論提唱者、エミール・アルティンは、代数の基礎付けに「代数学の基本定理」は不要とした。
5次以降の方程式の解の公式はがロア理論により存在が否定されている。方法は方程式の構造を群と対応させる。
複素数体では代数方程式は必ず解を持つが、代数方程式が解を持つのに複素数体は要らない。もっと小さくてもいい。それを求めるのが代数拡大。これは新たに体を作る方法。これより、有理数体と複素数体の間にある、代数方程式が解ける最小の体を求める。