FindClosestPointOnLine

up:: UE5.0.2
source:: c# - How to find closest point on line? - Stack Overflow

public Vector2 FindNearestPointOnLine(Vector2 origin, Vector2 direction, Vector2 point)
{
    direction.Normalize();
    Vector2 lhs = point - origin;
 
    float dotP = Vector2.Dot(lhs, direction);
    return origin + direction * dotP;
}

中身がどうなってるのか。
目的はoriginを通るベクトルdirection上にある、pointからの最短距離ポイントtを取ること。

まず、後のためにdirectionベクトル$\overrightarrow{D}$をnormalize。$\overrightarrow{D^{\prime }}$とする。
次にoriginからpointへ$\overrightarrow{OP}$を引く。
そして$\overrightarrow{OP}$と$\overrightarrow{D^{\prime }}$でドット積。これは$\overrightarrow{OP}$に$\overrightarrow{D^{\prime }}$への写像ベクトル$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}$を掛けた値。

ここで、$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}$はoriginからtへのベクトル$\overrightarrow{Ot}$と等しい。
また、$\overrightarrow{Ot}$に原点からoriginへのベクトル$\overrightarrow{原O}$を加えると、tの座標$\overrightarrow{原t}$と等しくなる。

よって、$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}$を算出すればいい。
$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}$は$\overrightarrow{OP}cos\theta$で、$cos\theta$はドット積を変形して$\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{D^{\prime }}|}$なので、計算式は

$\overrightarrow{原O}+\overrightarrow{OP}\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{D^{\prime }}|}$

$=\overrightarrow{原O}+\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }}$

となり、コードと一致する。